大连理工大学2010-2015上学期工科数学分析基础期中试题

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2020年03月21日 19:27
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2010工科数学分析基础(微积分)试题 一、填空题 (每题6分,共30分) abx21.函数f(x)ebx1xx0,limf(x) ,若函数f(x)在x0点连x0x0续,则a,b满足 。 12nx2. lim2 22lim 。 ,nnn1xx1nn2nnnxetsin2t3.曲线在0,1处的切线斜率为 ,切线方程为 。 tyecost4.exyxy1,dy ,y(0) 。 xx2axb2,则a ,b 。 5.若lim2x1xx2二、单项选择题 (每题4分,共20分) 1.当x0时,31ax21与1cosx是等价无穷小,则( ) (A)a23, (B)a3, (C). a, (D)a2 322.下列结论中不正确的是( ) (A)可导奇函数的导数一定是偶函数; (B)可导偶函数的导数一定是奇函数; (C). 可导周期函数的导数一定是周期函数; (D)可导单调增加函数的导数一定是单调增加函数; x3x3.设f(x),则其( ) sinx(A)有无穷多个第一类间断点; (B)只有一个跳跃间断点; (C). 只有两个可去间断点; (D)有三个可去间断点; 4.设f(x)xxx,则使f3(n)。 (0)存在的最高阶数n为( )(A)1 (B)2 (C) 3 (D)4 sinxxf(x)1f(x)0lim , 则为( )。 x0x0x3x21(A)。 0 (B), (C) 1 (D) 65.若lim

三.(10分)求limx01x1x2 tanxarctanxg(x)sinx,x0四.(10分)设f(x),其中g(x)具有二阶连续导数,g(0)0,xx0a,g(0)1,(1)求a的值使f(x)连续;(2)求f(x);(3)讨论f(x)连续性。 ln(1ax3),x0xarcsinx6,x0五.(10分)函数f(x) 问a为何值,f(x)在x0处(1)ax2exax1,x0xxsin4连续;(2)为可去间断点;(3)为跳跃间断点;(4)为第二类间断点; 六.(10分)设x114, xn1xn2 (n1,2,), 1xn24(xn12)limx(1)求极限n ; (2)求极限limnnxn2 七.(10分)设函数f(x)在a,b连续,a,b可导,证明:至少存在一点a,b,使f()f()f(a) b

2011工科数学分析基础(微积分)试题 一、填空题 (每题6分,共30分) sin2xn1 。 1.lim ;limx0nn11(1xsin)tanxx2.设函数yy(x)由方程eyxye确定,则 在(0,1)点处切线方程为 。 ndy ,曲线yy(x) dxxt33t13.设函数y(x)由参数方程确立,则函数y(x)单调增加的x的取值范3yt3t1围是 ,曲线yy(x)下凸的x取值范围是 。 24.设当x0时,ex(ax2bx1)是比x高阶的无穷小,则a ,b 。 5.设f(x)x3sinx,则f(0) ,f(201)1(0) 。 二、单项选择题 (每题4分,共20分) 1.下列结论正确的是( ) (A).如果f(x)连续,则f(x)可导。 (B).如果f(x)可导,则f(x)连续. (C). 如果f(x)不存在,则不f(x)连续 (D).如果f(x)可导,则f(x)连续. 2.数列xn极限是a的充要条件是( ) (A)对任意>0,存在正整数N,当n>N时有无穷多个xn落在(a,a)中 (B)对任意>0,存在正整数N,当n>N时有无穷多个xn落在(a,a)外 (C). 对任意>0,至多有有限多个xn落在(a,a)外 (D)以上结论均不对。 x213.设f(x),则其( ) sinx(A)有无穷多个第一类间断点; (B)只有一个可去间断点; (C).有两个跳跃间断点; (D)有两个可去间断点;

14.曲线yxex的渐进线有( )条。 (A)1条; (B)2条; (C).3条; (D)4条。 5.设f(x)在xa可导,则函数f(x)在xa不可导的充分条件是( ) (A)f(a)>0且f(a)>0; (B)f(a)<0且f(a)<0; (C). f(a)=0且f(a)0; (D)f(a)=0且f(a)=0 22cosxx三.(10分)求lim1 2x03arctanx12x1g(x)sinx,x0四.(10分)设f(x),其中g(x)具有二阶连续导数,g(0)0,xx0a,g(0)1,g(0)2,(1)求a的值使f(x)连续;(2)求f(x);(3)讨论f(x)连续性。 五.(10分)比较20112012和20122011的大小,并叙述理由。 六.(10分)f(x)>0,f(0)<0,证明函数f(x)在(,0)和(0,)内单调增加。 x七.(10分)设f(x)在0,1连续,0,1可导,f(1)0,证:存在x0(0,1)使nf(x0)x0f(x0)0,n为正整数。

2012工科数学分析基础(微积分)试题 一、填空题 (每题6分,共30分) 2n3n13x22x1n . ) ; lim21) lim(2xnxsinx5 (2) 曲线yxn(nN)在点(1,1)处的切线方程为 ,记该切线与x轴的 交点为(n,0),则limnn . nxt22tdyd2y ,2 . (3) 设,则dxdxyln(1t) (4) cos2x的Maclaurin(麦克劳林)公式为 cos2x o(x5), 设g(x)x2cos2x,则g(4)(0) . (5) 当x0时,f(x)tan2xx2是x的 阶无穷小(写出阶数),f(0) . 二、单项选择题 (每题4分,共20分) (1) 以下极限计算中正确的是 . 11A.limxsin1; B.limsinx0; x0xxx111C.limsin; D.limsinx1. x0xxxx(2) 函数f(x)xsin(x2)x(x1)(x2)2在下列哪一个区间内有界? A.(1,0); B.(0,1); C.(1,2); D.(2,3). (3) 对于定义在(1,1)上的函数f(x),下列命题中正确的是 . A.如果当x0时f(x)0,当x0时f(x)0,则f(0)为f(x)的极小值; B.如果f(0)为f(x)的极大值,则存在01,使得f(x)在(,0)内单调增加,在(0,)内单调减少; C.如果f(x)为偶函数,则f(0)为f(x)的极值;

D.如果f(x)为偶函数且可导,则f(0)0. ln(1x)(axbx2)2,则 . (4) 若limx0x255A.a1,b; B.a1,b; 22C.a1,b2; D.a0,b2. (5) 设函数f(x)在点x0的某邻域内三阶可导,且lim则 . A.f(0)为f(x)的一个极大值; B.f(0)为f(x)的一个极小值; C.f(0)为f(x)的一个极大值; D.f(0)为f(x)的一个极小值. 三、(10分)已知函数yy(x)由方程x2y2y1(y0)确定,求的极值. dy,并求yy(x)dxf(x)1,x01cosxexesinx四、(10分) 求极限 lim x0xln(1x)x2sin6xx,x0五、(10分) 已知函数f(x)abcosx 在点 x0 处可导,求常数a,x0x和b. 111ln(1)(nN); n1nn11(2)设 un1lnn(nN),证明数列{un}收敛. 2n六、(10分)(1)证明:七、(10分) 设函数f(x)在[0,]上连续,在(0,)内可导,f(0)0.证明:至少存在一点 (0,),使 2f()tanf(). 2 2013工科数学分析基础(微积分)试题

一、填空题 (每题6分,共30分) n1 1. lim曲线y2的渐近线方程为 。 = ,nn1x1n2x3x1t2 2. 设函数yf(x)由参数方程确定,则该函数表示的曲线 ycost在t处的切线斜率为____,函数yf(x)在t 3. 若曲线2处的微分dyt____。 2yx3ax2bx1有拐点(1,0),则a ,b 。 4.长方形的长x以2cm/s的速率增加,宽y以3cm/s的速率增加。则当 x12cm,y5cm时,长方形对角线增加的速率为 。 5. 设f(x)x3sinx, 则f(0)= , f(2013)(0)= 。 二、单项选择题 (每题4分,共20分) x2x1.函数f(x) 2112x1x (A)0 (B)1 的无穷间断点的个数是( ) (C)2 (D)3 2x2.limaxb2, 则(a, b)=( ) x1x2x2Ba2,b3Aa1,b2  Ca3,b4 Da4,b5 ex,x03.设函数f(x)在x0处可导,则( ) abx,x0 (A)a1,b1 (B)a1,b0 (C)a1,b1 a1,b2 (D)4.设函数f(x)在(,)内单调有界,xn为数列,下列命题正确的是( ) (A)若xn 收敛,则f(xn)收敛 (B)若xn 单调,则f(xn)收敛 (C)若f(xn) 收敛,则xn收敛 (D)若f(xn)单调,则xn收敛

5.设f(x)在xa可导,则函数|f(x)|在xa不可导的充分条件是( ) (A)f(a)0且f'(a)0 (B)f(a)0且f'(a)0 (C) f(a)0且f'(a)0 12cosx[(3 (D)f(a)0且f'(a)0 )x1] 三.(10分)求limx0sin3xg(x)sinx,x0四、(10分)设f(x) ,其中g(x)具有二阶连续导数,xa,x0g(0)0,g(0)1,g(0)2,(1)求a的值使f(x)连续;(2)求f(x)。 五、(10分)设函数yy(x)由方程2y32y22xyx21确定,求yy(x)的驻点,并判别它是否为极值点,如果是极值点,并求极值。 六、(10分)证明x0时,(x21)lnx(x1)2 七、(10分)已知函数f(x)具有二阶导数,且limx0f(x)0,f(1)0,证明:存在点x(0,1),使得f()0. 2014工科数学分析基础(微积分)试题 一、填空题 (每题6分,共30分) 1.方程eyxye确定隐函数yy(x),则y|x0 及y|x0 。

3xt3t1 2.函数y(x)由参数方程 确立,求函数y(x)的单调减少的x的取值3yt3t1范围 及曲线yy(x)的拐点 。 1n2 3.数列极限lim(ntan)= 。 nn4.设有一个球体,其半径以0.1m/min的速率增加,则当半径为1m时,其体积增加的速率为 和表面积增加的速率为 。 5.设函数f(x)x2ln(1x), 则f(0)= , f(2014)(0)= 。 二、单项选择题 (每题4分,共20分) x3x 1.设f(x),则其 ( ) sinx(A)只有一个可去间断点 (B)有两个跳跃间断点 (C)有三个可去间断点 (D)有无穷多个第一类间断点 1 2.曲线yxex( )。 (A)即有水平又有铅直渐近线;(B)即有铅直又有斜渐近线 ; (C)即无水平又无斜渐近线; (D)即无铅直又无斜渐近线。 1x3.当x0时,函数f(x)2arctanxln是( )阶的无穷小量。 1x (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 4.设f(x)在(0,)上二阶可导,f(x)0,令unf(n)(n1,2,...),则下列结论正确的是( ) (A)若u1u2,则un必收敛 (B)若u1u2,则un必发散 (C)若u1u2,则un必收敛 (D)若u1u2,则un必发散 5.函数y=f(x)在x0处可微,yf(x0h)f(x0), 下列说法“①dy是h的等价无穷小②f(x)0时,y与dy是等价无穷小③ ydy是h的同阶无穷小④ydy是h的高阶无穷小”中正确的是( ) 2 (A)①② (B)①③ (C)②③ (D)②④ 1三、(10分)求lim(2cot2x) x0x

g(x)cosx四、(10分)设函数f(x)xaxbx0x0, 其中g(0)5,g(0)2,g(0)1,试确定a,b的值,使f(x)在x0处可导,并求f(0). 五、(10分)设函数f(x),g(x)在x(a,b)内连续,且f(x)g(x),g(x)0,如果f(x)g(x)f(x)在xx0(ax0b)取极大值,则在xx0取极小值。 f(x)g(x)g(x) 六、(10分)函数f(x)在[0,)上二阶可导, 且满足f(0)0, f(0)0, 当x0时, f(x)0. 证明:在(0,)内, 方程f(x)0有且仅有一个实根。 七、(10分)f(x),g(x)设[a,b]连续,(a,b)内可导,且g(x)0,x(a,b),证明存在(a,b)使 f()f(a)f()。 g(b)g()g()2015工科数学分析基础(微积分)试题 一、填空题 (共30分,每题6分) x21axb)0,则a ,b . 1、设lim(xx1(4)2、设f(x)sinxsin3xsin5x,则f(0) , f(0) . xcosttsintdyd2y ,2 . 3、设,则dxdxysinttcostxy . 4、设函数yy(x)由方程exy1确定,则y(0) ,y(0)5、limx1113x1xlim() .  ,x0x2sin2xx2x2二、选择题 (共20分,每题4分)

11ex,x01、设f(x)x,则x0是f(x)的 . xlnx,x0A.可去间断点; B.跳跃间断点; C.无穷间断点; D.振荡间断点. 1cosx,x02、设f(x)在x0处可导,则 . xx0axb,1,b0; 21C.a2,b1; D.a,b1. 2A.a2,b0; B.a3、设f(x),g(x)为大于零的可导函数,且f(x)g(x)f(x)g(x)0,则对于axb,有 . A.f(x)g(b)f(b)g(x); B.f(x)g(a)f(a)g(x); C.f(x)g(x)f(b)g(b); D.f(x)g(x)f(a)g(a). 4、设limf(x)e,且lim(f(x)f(x1))lim(xxxxcx),则常数c为 . xcA.2; B.2; C.11; D.. 225、设偶函数f(x)具有二阶连续导数,且f(0)0,则x0 . A.一定不是f(x)的驻点; B.一定不是f(x)的极值点; C.一定是f(x)的极值点; D.不能确定是否为f(x)的极值点. 三、(10分)计算limx0tanxx1(1x1)ln(1x2)x4cosx1xe2x. 四、(10分)证明:当0x1时,1x五、(10分)讨论方程xex. a(a0)的实根个数. 六、(10分)设函数f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内可导,且f(0)2f(1)3f(2). 证明:存在(0,2),使得f()0.

七、(10分)(1)设常数a1a2ak0,求limna1a2ak. nnnn2x(2)设 f(x)limn1x()nn2n(x0),求f(x)的表达式. 1) 欲证f()f()0Fxff,F(x)xf(x) fg0Ffg; 2) fg3) fgfg0Ff g4) ff0Fexf(x); 5) ffFexf(x) 6) nfxf0Fxnf(x); g0Ffgfg 7) fgf8) f()0f(t)dt0F[0f(t)dt]2 g()f(t)dtf()g(t)dtFfdtgdt 0x0x00x

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